题目内容

将边长为2,锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD点E、F分别为AC、BD的中点,则下列命题中正确的是
②③④⑤
②③④⑤
.(将正确的命题序号全填上)
①EF∥AB     ②EF⊥AC       ③EF⊥BD     ④当四面体ABCD的体积最大时,AC=
6
  ⑤AC垂直于截面BDE.
分析:画出图形,利用翻折前后直线和平面的位置关系,根据空间直线和平面的位置关系进行判断.
解答:解:①如图:由题意得,EF与AB是异面直线,∴①不正确.
②∵CF=AF,E为AC中点,∴EF⊥AC,∴②正确.
③由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD,AF⊥BD,
∴DB⊥面ACF,
又EF?面ACF,∴EF⊥BD,∴③正确.
④当四面体ABCD的体积最大时,∵等边△ABD的面积为定值,
∴只要四面体ABCD的高最大即可.
即当面CBD⊥面ABD,CF为四面体的高,
此时CF⊥AF.
且CF=AF=
3

∴AC=
CF2+AF2
=
3+3
=
6
,∴④正确.
⑤由DB⊥面ACF得,DB⊥AC,又EF⊥AC,∴AC⊥面EBD,故⑤正确.
故答案为:②③④⑤.
点评:本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断,注意要和变换之前的菱形进行对比,确定量的变化情况.
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