题目内容
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是
①EF∥AB ②EF⊥AC ③EF⊥BD ④当四面体ABCD的体积最大时，AC=
⑤AC垂直于截面BDE．
②③④⑤
②③④⑤
．（将正确的命题序号全填上）①EF∥AB ②EF⊥AC ③EF⊥BD ④当四面体ABCD的体积最大时，AC=
| 6 |
分析：画出图形，利用翻折前后直线和平面的位置关系，根据空间直线和平面的位置关系进行判断．
解答：解：①如图：由题意得，EF与AB是异面直线，∴①不正确．
②∵CF=AF，E为AC中点，∴EF⊥AC，∴②正确．
③由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，
∴DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，∴EF⊥BD，∴③正确．
④当四面体ABCD的体积最大时，∵等边△ABD的面积为定值，
∴只要四面体ABCD的高最大即可．
即当面CBD⊥面ABD，CF为四面体的高，
此时CF⊥AF．
且CF=AF=
．
∴AC=
=
=
，∴④正确．
⑤由DB⊥面ACF得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
②∵CF=AF，E为AC中点，∴EF⊥AC，∴②正确．
③由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，
∴DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，∴EF⊥BD，∴③正确．
④当四面体ABCD的体积最大时，∵等边△ABD的面积为定值，
∴只要四面体ABCD的高最大即可．
即当面CBD⊥面ABD，CF为四面体的高，
此时CF⊥AF．
且CF=AF=
| 3 |
∴AC=
| CF2+AF2 |
| 3+3 |
| 6 |
⑤由DB⊥面ACF得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
点评：本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，注意要和变换之前的菱形进行对比，确定量的变化情况．
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