Question

设[x]表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数），例如[3.15]=3，[0.7]=0，那么函数y=[

x+1

2

]-[

x

2

]，(x∈R)的值域为

{0，1}

．

Answer 1

分析：由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数．①当x=2m时，显然 [

x+1

2

]=m，[

x

2

]=m．所以y=0．②当x=2m+1时，[

x+1

2

]=m+1，[

x

2

]=m，所以y=1．③当2m＜x＜2m+1时，[

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m，所以y=0．④当2m+1＜x＜2m+2时，此时 [

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m+1，所以y=1，综合此四类即可得到函数的值域

解答：解：设m表示整数．
①当x=2m时，
[

x+1

2

]=[m+0.5]=m，[

x

2

]=[m]=m．
∴此时恒有y=0．
②当x=2m+1时，
[

x+1

2

]=[m+1]=m+1，[

x

2

]=[m+0.5]=m．
∴此时恒有y=1．
③当2m＜x＜2m+1时，
2m+1＜x+1＜2m+2
∴m＜

x

2

＜m+0.5
  m+0.5＜

x+1

2

＜m+1
∴[

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m
∴此时恒有y=0
④当2m+1＜x＜2m+2时，
  2m+2＜x+1＜2m+3
∴m+0.5＜

x

2

＜m+1
  m+1＜

x+1

2

＜m+1.5
∴此时 [

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m+1
∴此时恒有y=1．
综上可知，y∈{0，1}．
故答案为{0，1}．

点评：此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[x]表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想