Question

12．已知定义在R上的函数f（x）=2^|x-m|-1 （m∈R）为偶函数，则不等式f（x）＜1的解集为（-1，1）．

Answer 1

分析 根据函数是偶函数，求出m的值，然后解不等式进行求解．

解答 解：∵函数f（x）=2^|x-m|-1 （m∈R）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即2^|-x-m|-1=2^|x-m|-1，
即2^|-x-m|=2^|x-m|，
则|-x-m|=|x-m|，
即|x+m|=|x-m|，
解得m=0，
则f（x）=2^|x|-1，
由f（x）＜1得2^|x|-1＜1得2^|x|＜2，
即|x|＜1，
解得-1＜x＜1，
即不等式的解集为（-1，1），
故答案为：（-1，1）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的定义和性质求出m是解决本题的关键．