Question

将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n³（n≥3）个同样大小的小正方体．
（1）若n=10，则从1000个小正方体中任取一个，恰好两面涂有颜色的概率为

12

125

．
（2）从n³个小正方体中任取一个，至多有一面涂有颜色的概率为

n3-12n+16

n3

．

Answer 1

分析：（1）一个正方体有12条棱，而恰好两面涂有颜色的小正方体恰好在棱上（除两端的两个），这样总共有8×12=96个两面涂有颜色的小正方体，由此不难计算从1000个小正方体中任取一个，恰好两面涂有颜色的概率；
（2）至多有一面涂有颜色的小正方体分两类：一面涂有红色的和三面都没有涂有颜色的．分别计算出这两类的正方体的个数，得到共（n-2）²（n+4）个适合题意的小正方体，由此即可算出从n³个小正方体中任取一个，至多有一面涂有颜色的概率．

解答：解：（1）两面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上（除两端的两个），
这样每条棱有8个适合题意的小正方体，共有12条棱，
得8×12=96个两面涂有颜色的小正方体，
∴恰好两面涂有颜色的概率为：P₁=

96

1000

=

12

125

；
（2）①一面涂有红色的小正方体在正方体的面上，且每个面都有（n-2）²个，
∴6个面总共6（n-2）²个一面涂有红色的小正方体；
②三面都没有涂有颜色的小正方体在大正方体的内部，
总共（n-2）³个三面都没有涂有颜色的小正方体．
因此，至多一面涂有颜色的小正方体共有
（n-2）³+6（n-2）²=（n-2）²（n+4）个，
∴至多有一面涂有颜色的概率为P₂=

(n-2)2(n+4)

n3

=

n3-12n+16

n3

．
故答案为：

12

125

，

n3-12n+16

n3

点评：本题将一个大正方体分割成若干个小正方体，借助于几何模型，着重考查了等可能性事件的概率和空间几何体的基础知识，属于中档题．