Question

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=

OM

•

ON

（O为坐标原点）．若f（x）的最小正周期为2，并且当x=

1

3

时，f（x）的最大值为5．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意的整数n，在区间（n，n+1）内是否存在曲线y=f（x）的对称轴？若存在，求出此对称轴方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由内积公式求出函数f（x）的表达式再逆用和差角公式化简，据周期为2与函数过点（

1

3

，5）求参数．
（2）解出对称轴的方程，看其形式是不是可以表示成一个整数加上一个大于零且小于1的数．若是则存在，若否，则不存在．求解发现，本题结论是存在．

解答：解：（1）由题设条件知f（x）=asinωx+bcosωx=5sin（ωx+φ），
由已知得

2π ω =2 f( 1 3 )=5

，得ω=π，φ=

π

6

，
所以f（x）=5sin（πx+

π

6

），．
（2）曲线f（x） 有对称轴x=x₀的充要条件是5sin（πx₀+

π

6

）=±5．即πx₀+

π

6

=kπ+

π

2

即x₀=k+

1

3

，k∈Z，
令n＜k+

1

3

＜n+1 得k=n （n∈Z），
所以在区间（n，n+1）内存在曲线f（x）的对称轴，
其方程是x=n+

1

3

，n∈Z，

点评：本题考查用向量的数量积公式变形得到函数的表达式，然后再利用和差角公式变形，根据题目条件求出参数得到函数的表达式，本题综合性较强．