题目内容
直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为分析：设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程．
解答：解：设椭圆方程为：
+
=1 a＞b＞0
c=1，a2-b2=c2=1
设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上
+
=1，
﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+6m+9﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2
﹙2a2-1﹚m2+6a2m+10a2-﹙a2﹚2=0
△=﹙6a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙10a2-a4﹚≥0
36a4-80a4++40a2+8a6-4a4≥0
-48a2+40+8a4≥0，a4-6a2+5≥0
﹙a2-5﹚﹙a2-1﹚≥0
a2≤1或 a2≥5
∵c2=1，a2＞c2
∴a2≥5，长轴最短，即a2=5
b2=a2-1=4
所以：所求椭圆方程为：
+
=1．
故答案为：
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
c=1，a2-b2=c2=1
设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上
| m2 |
| a2 |
| (m+3)2 |
| a2-1 |
﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+6m+9﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2
﹙2a2-1﹚m2+6a2m+10a2-﹙a2﹚2=0
△=﹙6a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙10a2-a4﹚≥0
36a4-80a4++40a2+8a6-4a4≥0
-48a2+40+8a4≥0，a4-6a2+5≥0
﹙a2-5﹚﹙a2-1﹚≥0
a2≤1或 a2≥5
∵c2=1，a2＞c2
∴a2≥5，长轴最短，即a2=5
b2=a2-1=4
所以：所求椭圆方程为：
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
故答案为：
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
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