题目内容
(2009•淮安模拟)若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为
(-∞,6]
(-∞,6]
.分析:令f(x)=x2+9+|x2-3x|,x∈[1,5],由已知,k只需小于或等于g(x)=
的最小值即可.写出分段函数g(x)的函数解析式,求出其最小值即可解决.
f(x) |
x |
解答:解:令f(x)=x2+9+|x2-3x|,x∈[1,5],则f(x)=
,由已知,k只需小于或等于g(x)=
的最小值即可.
当x∈[1,3]时,g(x)=
=3+
≥6,
当x∈(3,5]时,g(x)=
=2x+
-3,g′(x)=(
)′=2-
>0,是增函数,g(x)>g(3)=6,
所以g(x)的最小值为6,所以k≤6.
故答案为:(-∞,6]
|
f(x) |
x |
当x∈[1,3]时,g(x)=
f(x) |
x |
9 |
x |
当x∈(3,5]时,g(x)=
f(x) |
x |
9 |
x |
f(x) |
x |
9 |
x2 |
所以g(x)的最小值为6,所以k≤6.
故答案为:(-∞,6]
点评:本题考查不等式恒成立问题,考查分段函数的性质、参数分离的方法.
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