Question

如图：△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点．
①求证：DE=DA；
②求证：DM∥面ABC；
③求C到面ADE的距离．

Answer 1

分析：①利用勾股定理求得DE和AD 的长，从而得到结论．
②设AC的中点为F，证得BDMF为矩形，可得BF∥DM，进而证得DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，故平面ADE⊥平面AEC，过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，面积法求得CH的值．

解答：解：①证明：∵EC⊥面ABC，BD∥CE，∴DB⊥平面ABC．∵△ABC是边长为2的正三角形且CE=CA=2BD，
∴在直角三角形ABC中，可求得AD=

5

． 在直角梯形ECBD中，可求得DE=

5

，∴DE=AD．
②证明：设AC的中点为F，则MF∥EC，MF=

1

2

EC，由①DB∥EC，DB=

1

2

EC，
∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF为矩形，∴BF∥DM． 又∵DM?平面ABC，BF?平面ABC，∴DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，∴平面ADE⊥平面AEC，
过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，故CH之长为点C到平面ADE的距离，
由面积法求得 CH= 

CA•CE

AE

=

2

．

点评：本题考查证明线段相等，线面平行的方法，构造矩形BDMF是解题的关键．