Question

14．在平面直角坐标系中，已知点M（0，-1），N（0，1），动点P满足PM=$\sqrt{2}$PN．
（1）求点P的轨迹C₁的方程，并说明是什么曲线
（2）二次函数f（x）=x²+2x-3的图象与两坐标轴交于三点，过这三点的圆记为C₂，求证C₁、C₂有两个公共点，并求出这两个公共点间距离．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，可得点P的轨迹C₁的方程，表示以（0，3）为圆心，2$\sqrt{2}$为半径的圆；
（2）求出圆C₂的方程，可得C₁、C₂有两个公共点，求出公共弦的方程，即可求出这两个公共点间距离．

解答 解：（1）设P（x，y），则
∵点M（0，-1），N（0，1），动点P满足PM=$\sqrt{2}$PN，
∴$\sqrt{（0-x）^{2}+（-1-y）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（0-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，
∴x²+y²-6y+1=0，即x²+（y-3）²=8，
表示以（0，3）为圆心，2$\sqrt{2}$为半径的圆；
（2）二次函数f（x）=x²+2x-3的图象与两坐标轴交于三点（0，-3），（1，0），（-3，0），
设圆C₂的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入点的坐标，可得$\left\{\begin{array}{l}{9-3E+F=0}\\{1+D+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，∴D=2，E=2，F=-3，
∴圆C₂的方程为x²+y²+2x+2y-3=0，即（x+1）²+（y+1）²=5，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{（0+1）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵5-2$\sqrt{2}$＜|C₁C₂|＜5-2$\sqrt{2}$，
∴C₁、C₂有两个公共点，
两个圆的方程相减，可得公共弦的方程：x+4y-2=0，
（0，3）到直线的距离为$\frac{10}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{10}{\sqrt{17}}$，
∴两个公共点间距离2$\sqrt{8-\frac{100}{17}}$=$\frac{12}{17}\sqrt{17}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．