题目内容

已知函数f(x)=
kx-1(0＜x＜k)
3x4k-x2k(k≤x＜1)
满足f(k2)=-
7
8
．
（1）求常数k的值；
（2）若f（x）-2a＜0恒成立，求a的取值范围．
分析：（1）先要判定k2的范围，然后结合条件f(k2)=-
7
8
，即可获得参数k的关系式，从而问题即可获得解答；
（2）首先可结合（1）对问题进行化简，对化简后的分段函数求最值，由恒成立问题的特点即可转化为关于参数a的不等关系，进而问题即可获得解答．
解答：解：（1）∵0＜k＜1，
∴k2＜k，
∴f(k2)=k3-1=-
7
8
，k3=
1
8
，k=
1
2
．

（2）由（1）得知：f(x)=
1
2
x-1(0＜x＜
1
2
)
3x2-x(
1
2
≤x＜1)
，
当x∈(0，
1
2
)时，f（x）递增，得f(x)＜-
3
4
，
当x∈[
1
2
，1)时，f（x）递增，得f（x）＜f（1）=2，
又由2a＞fmax（x），
得2a≥2，
∴a的取值范围为：a≥1．
点评：本题考查的是分段函数和恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、分类讨论的思想以及恒成立的问题解答规律．值得同学们体会和反思．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
1
x2+x-6
＞0，则p是q的必要不充分条件；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
1
2
”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z；
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（　　）
已知函数f(x)=
4x
4x+2

（1）试求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
（2004•黄浦区一模）已知函数f(x)=k+
x
，存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3，g（x）=（3-k2）（logax+logxa），（其中a＞1），设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，若存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立，试求k的范围．
已知函数f(x)=+k定义域为D，且方程f(x)=x在D上有两个不等实根，则k的取值范围是
[     ]
A.-1＜k≤
B.≤k＜1
C.k＞-1
D.k＜1

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