Question

（05年全国卷Ⅰ理）（12分）

（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明：

      

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：对函数求导数：

  

于是

当在区间是减函数，

当在区间是增函数.

所以时取得最小值，，

（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.

（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.

（ii）假定当时命题成立，即若正数，

则

当时，若正数

令

则为正数，且

由归纳假定知

        ①

同理，由可得

    ②

综合①、②两式

即当时命题也成立.

根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.

证法二：

令函数

利用（Ⅰ）知，当

 

对任意

                     .  ①

下面用数学归纳法证明结论.

（i）当n=1时，由（I）知命题成立.

（ii）设当n=k时命题成立，即若正数

 

由①得到

      由归纳法假设

     

      

      即当时命题也成立.

      所以对一切正整数n命题成立.