题目内容
已知函数,其中
是自然对数的底数,
.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若,求
的单调区间;
(3)若,函数
的图象与函数
的图象有3个不同的交点,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)
(2)的单调递减区间为
,
; 单调递增区间为
.
(3)
【解析】
试题分析:解:(1)因为,
所以, 1分
所以曲线在点
处的切线斜率为
.
又因为,
所以所求切线方程为,即
. 2分
(2),
①若,当
或
时,
;
当时,
.
所以的单调递减区间为
,
;
单调递增区间为. 4分
②若,
,所以
的单调递减区间为
.
③若,当
或
时,
;
当时,
.
所以的单调递减区间为
,
;
单调递增区间为. 7分
(3)由(2)知,在
上单调递减,在
单调递增,在
上单调递减,所以
在
处取得极小值
,在
处取得极大值
.
由,得
.
当或
时,
;当
时,
.
10分
所以在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增.
故在
处取得极大值
,在
处取得极小值
.
因为函数与函数
的图象有3个不同的交点,
所以,即
. 所以
. 12分
考点:导数的运用
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,属于中档题。
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