题目内容
已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：
•
=k|
|2
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）求|
+
|的取值范围．
| AP |
| BP |
| PC |
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）求|
| AP |
| BP |
分析：（1）根据题意，给出向量
、
、
的坐标，由
•
=k|
|2建立关于x、y的方程，化简得（1-k）x2+（1-k）y2+2kx-（k+1）=0．根据k是否等于1讨论，可得方程所表示的曲线类型；
（2）k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）2+y2=1，由此化简得|
+
|=2
=2
，利用1≤x≤3即可算出|
+
|的取值范围．
| AP |
| BP |
| PC |
| AP |
| BP |
| PC |
（2）k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）2+y2=1，由此化简得|
| AP |
| BP |
| x2+y2 |
| 4x-3 |
| AP |
| BP |
解答：解：（1）设动点P（x，y），可得
=(x，y-1)，
=(x，y+1)，
=(1-x，-y)，
∵
•
=k|
|2，
∴x2+y2-1=k（x-1）2+ky2
化简得（1-k）x2+（1-k）y2+2kx-（k+1）=0…4分
①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分
②当k≠1时，方程为(x-
)2+y2=(
)2，
方程表示(
，0)为圆心、
为半径的圆．…7分
（2）当k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）2+y2=1，
∴|
+
|=2
将（x-1）2+y2=1化简得x2+y2=4x-3，
∴|
+
|=2
，…10分
结合1≤x≤3，可得|
+
|max=6，|
+
|min=2
∴|
+
|的取值范围为：2≤|
+
|≤6，…13分
| AP |
| BP |
| PC |
∵
| AP |
| BP |
| PC |
∴x2+y2-1=k（x-1）2+ky2
化简得（1-k）x2+（1-k）y2+2kx-（k+1）=0…4分
①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分
②当k≠1时，方程为(x-
| k |
| k-1 |
| 1 |
| k-1 |
方程表示(
| k |
| k-1 |
| 1 |
| |k-1| |
（2）当k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）2+y2=1，
∴|
| AP |
| BP |
| x2+y2 |
将（x-1）2+y2=1化简得x2+y2=4x-3，
∴|
| AP |
| BP |
| 4x-3 |
结合1≤x≤3，可得|
| AP |
| BP |
| AP |
| BP |
∴|
| AP |
| BP |
| AP |
| BP |
点评：本题给出动点P满足的条件，求P的轨迹方程，并求向量模的取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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