Question

已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：

AP

•

BP

=k|

PC

|²，
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2，求|2

AP

+

BP

|的最大，最小值．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，求出向量的坐标，然后分k=1和k≠1由

AP

•

BP

=k|

PC

|²得到P点轨迹；
（2）把k=2代入（1）求出的轨迹方程，得到x²+y²=4x-3，利用向量的坐标运算求出|2

AP

+

BP

|，把x²+y²=4x-3整体代入后转化为求6x-y的最值，令t=6x-y，由圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径求t的范围，从而得到结论．

解答：解：（1）设P（x，y），

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)．
当k=1时，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=（1-x）²+y²，
整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；
当k≠1时，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=k（1-x）²+ky²，
整理得：(x+

k

1-k

)2+y2=(

1

1-k

)2，表示以点(-

k

1-k

，0)为圆心，以

1

|1-k|

为半径的圆．
（2）当k=2时，方程化为（x-2）²+y²=1，即x²+y²=4x-3，
∵2

AP

+

BP

=(3x，3y-1)，
∴|2

AP

+

BP

|=

9x2+9y2-6y+1

，又x²+y²=4x-3，
∴|2

AP

+

BP

|=

36x-6y-26

=

6(6x-y)-26

．
问题归结为求6x-y的最值，令t=6x-y，
∵点P在圆（x-2）²+y²=1，圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径，
∴

|12-t|

37

≤1，解得12-

37

≤t≤12+

37

．
∴

37

-3≤|2

AP

+

BP

|≤12+

37

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法及整体运算思想方法，属有一定难度题目．