Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）= ．
（1）求g（x）的值域（用t表示）；
（2）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，

∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1，

g（x）= =（x﹣1）+ +2，

∵|（x﹣1）+ |=|x﹣1|+ ≥2 ，当且仅当x=1± 时取“=”，

∴（x﹣1）+ ≤﹣2 或（x﹣1）+ ≥2 ，

∴g（x）≤2﹣2 或g（x）≥2+2 ，

即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2 ]∪[2﹣2 ，+∞）；

（2）解：当x=1时，f（x）取最小值﹣t﹣1，

由|f（x）|的图象得，平行x轴的直线y=x+1与函数y=|f（x）|的图象恰有三个交点，

由 =t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，显然x≠2，

∴t= ，

由于t＞﹣1，

∴ ＞﹣1，即 ＞0，

解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）

【解析】（1）求出t的范围，根据基本不等式的性质求出g（x）的值域即可；（2）求出t= ，得到 ＞﹣1，解不等式即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．