Question

【题目】已知数列 ，…，Sn是其前n项和，计算S1、S2、S3 ， 由此推测计算Sn的公式，并给出证明．

Answer 1

【答案】解：S1= = ；

S2= + = （1﹣ ）+ （ ﹣ ）= ；

S3= + + = （1﹣ + ﹣ + ﹣ ）= （1﹣ ）= ．

可得 ；

猜测 （n∈N*）．

（方法一）用数学归纳法证明：

当n=1时，S1= = ，猜想成立；

假设当n=k（k∈N*）时猜想成立．即Sk= ，

那么当n=k+1时，有

= = ，

所以，当n=k+1时，猜想也成立．

综上，对任意n∈N*，猜想成立．

（方法二）由 = （ ﹣ ），

可得Sn= + +…+ +

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

= （1﹣ ）=

【解析】直接计算可得S1、S2、S3，由此猜测 （n∈N*）．运用数学归纳法和裂项相消求和，即可得到结论．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．