Question

如图,已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,设AB=a,BC=b,PA=c.

(1)建立适当的空间直角坐标系,写出A、B、M、N点的坐标,并证明MN⊥AB;

(2)平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ,当θ为何值时(与a、b、c无关),MN是直线AB和PC的公垂线段.

Answer 1

(1)证明:以A为原点,分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(a,0,0),M(,0,0),N(,,),

    =(a,0,0),=(0,b2,c2).

    ·=0AB⊥MN.

(2)解:P(0,0,c),C(a,b,0), =(a,b,-c),若MN是PC、AB的公垂线段,则·=0,即-+=0b=c.CD⊥PD,

    ∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.

    ∴∠PDA=45°,即二面角P-CD-A是45°.