Question

（本小题满分12分）

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

 （I）当时，求证：；

   （II）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

Answer 1

（I）略（II）

解析:

（I）当时，底面为正方形，

又因为,面…………………………2分

又面

…………………………3分

   （II）因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，令，可得

则…………………4分

设，则

要使，只要

即………6分

由，此时。

所以边上有且只有一个点，使得时，

为的中点，且…………………………8分

设面的法向量

则即解得…………………………10分

取平面的法向量

则的大小与二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值为…………………………12分