Question

12．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．
（Ⅰ）画出四棱准P-ABCD的正视图；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求$\frac{PE}{EB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出正视图即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理证明即可；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．

解答 （Ⅰ）解：四棱准P-ABCD的正视图如图所示．
；
（Ⅱ）证明：因为 PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以 PD⊥AD．
因为 AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
因为 AD?平面PAD，
所以 平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得$\frac{PE}{EB}=\frac{1}{2}$，
下证AE∥平面PCD，
因为 AD∥BC，BC=3AD，
所以 $\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，
所以 $\frac{OA}{AB}=\frac{PE}{EB}$．
所以 AE∥OP，
因为OP?平面PCD，AE?平面PCD，
所以 AE∥平面PCD．

点评 本题考查了三视图问题，考查面面垂直、线面垂直的判断定理，是一道中档题．