Question

设函数f（x）=x²+ax+b（x∈R）中a，b∈R，若对于任意的a∈[-3，3]，关于x 的不等式f（x）＞1在[-1，1]上恒成立，则b的取值范围是（　　）

A．（-∞，2）

B．（-∞，3）

C．（2，+∞）

D．（3，+∞）

Answer 1

分析：函数f（x）=x²+ax+b的对称轴为x=-

a

2

，a∈[-3，3]，分①当-

3

2

≤-

a

2

＜-1时、②当-1≤-

a

2

≤1时、③当1＜-

a

2

≤

3

2

时三种情况，再根据最小值大于1，求得b的范围．

解答：解：函数f（x）=x²+ax+b的对称轴为x=-

a

2

，a∈[-3，3]，
①当-

3

2

≤-

a

2

＜-1时，即2＜a≤3时，函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-1）=1-a+b＞1，此时b＞a，故b＞3．
②当-1≤-

a

2

≤1时，即-2≤a≤2时，函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-

a

2

）=b-

a2

4

＞1，
可得 b＞2．
③当1＜-

a

2

≤

3

2

时，即-3≤a＜-2时，函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（1）=1+a+b＞1，此时b＞-a，故b＞3，
综上可得，b＞3，
故选D．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．