Question

【题目】已知 ，且方程 无实数根，下列命题：

（1）方程 一定有实数根；

（2）若 ，则不等式 对一切实数 都成立；

（3）若 ，则必存在实数 ，使 ；

（4）若 ，则不等式 对一切实数 都成立．

其中，正确命题的序号是________________．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】∵由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，
即y=ax2+bx+c与y=x的图象无交点，
∴（1）函数y=f[f（x）]与y=x的图象无交点，即方程f[f（x）]=x没有实数根，（1）错误；
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y=x无交点，
∴f（x）的图象在y=x图象的上方，
∴不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立，（2）正确；
（3）同理，当a＜0时，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方，
f[f（x）]＜x恒成立，∴（3）错误；
（4）当a+b+c=0时，f（1）=0，结合题意知a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方，
不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立，∴（4）正确．
综上，正确的答案为（2）（4）．
故答案为（2）（4）