题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）当
时， 
恒成立，求
的最大值；
（3）设
，若
在
的值域为
，求
的取值范围.（提示： 
， 
）
【答案】(1) 
；(2) 
；(3) 
.
【解析】试题分析：
(1)首先求解导函数，利用导函数求得斜率即可求得切线方程；
(2)结合题意构造新函数
，讨论函数g(x)的最小值可得
的最大值为
.
(3)构造函数
，结合导函数的性质得到关于实数t的不等式组，求解不等式组可得
的取值范围是
.
试题解析：
(1)∵
，
∴
，又
，
∴所求切线方程为
，即
.
(2)当
时， 
，即
恒成立，
设
，
，
当
时， 
， 
递减；当
时， 
， 
递增.
∴
，
∴
， 
的最大值为
.
(3) 
， 
，令
得
或
；
令
得
或
.
∴当
时， 
取得极小值，当
时， 
取得极大值.
∵
, 
,∴
.
令
得
或
.∴
或
，
∴
.
【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼 | [0，10） | [10，20） | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） |
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
参考公式： 
，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
