Question

函数f（x）=x³+ax²+x在区间（0，1）上既存在极大值，也存在极小值，则a的取值范围是（　　）

• A．（-2，-

  3

  ）
• B．（-3，-

  3

  ）
• C．（

  3

  ，2）
• D．（

  3

  ，3）

Answer 1

分析：求导函数，则问题转化为方程3x²+2ax+1=0的根都在区间（0，1）内，构造函数g（x）=3x²+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=3x²+2ax+1
则由题意，方程3x²+2ax+1=0的两个不等根都在区间（0，1）内，
构造函数g（x）=3x²+2ax+1，则

△=4a2-12＞0    0＜- a 3  ＜1   g(0)＞0   g(1)＞0

∴-2＜x＜-

3

∴实数a的取值范围是（-2，-

3

）
故答案为 A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查方程根的研究，解题的关键是问题转化为方程3x²+2ax+1=0的根都在区间（0，1）内．