题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆
交于
,
两点,在直线
上存在点
,使三角形
为正三角形,求
的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由离心率得,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合
可解得
,得椭圆方程;
(2)设直线方程为
,与
联立方程组,消去
,设
,
,由韦达定理得
.设线段
的中点为
,得直线
方程,求出
点坐标(此结论对
也适用),
是等边三角形等价于
,由此可把
用
表示,设
换元后,可利用基本不等式求得最值.
(1)设,则
,
,所以
,
,
由点在椭圆
上得
,
,
,所以椭圆
的方程为
.
(2)显然,直线的斜率存在,设其方程为
,
与联立方程组,消去
,并化简得
.
设,
,则
,
.
设线段的中点为
,则直线
:
,令
,
又,得点
的坐标为
,显然当
时也符合,
所以.
又因为,
由三角形为正三角形得
,
所以两边平方可得
,得
.
令,则
,当且仅当
,即
时等号成立,此时
,所以
的最大值为
.
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