题目内容

(2012•顺河区一模)已知函数f(x)=ln
1x
-ax2+x(a>0)

(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln2.
分析:(1)先由f(x),求出f′(x)=-
1
x
-2ax+1=-
2ax2-x+1
x
.再利用导数判断函数的单调性,由f(x)是单调函数,能求出a的取值范围.
(2)由(1)知,当且仅当a∈(0,
1
8
)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,且x1+x2=
1
2a
,x1x2=
1
2a
.求得f(x1)+f(x2)=-ln(x1x2)+
1
2
(x1+x2)+1=ln(2a)+
1
4a
+1.令g(a)=ln(2a)+
1
4a
+1,a∈(0,
1
8
],由此能够证明f(x1)+f(x2)>3-2ln2.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x,
f′(x)=-
1
x
-2ax+1=-
2ax2-x+1
x
.…(2分)
令△=1-8a.
当a≥
1
8
时,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.…(4分)
当0<a<
1
8
时,△>0,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2
不妨设x1<x2
则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)<0,
当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,
这时f(x)不是单调函数.
综上,a的取值范围是[
1
8
,+∞).…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,
1
8
)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2
且x1+x2=
1
2a
,x1x2=
1
2a

f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2
=-(lnx1+lnx2)-
1
2
(x1-1)-
1
2
(x2-1)+(x1+x2
=-ln(x1x2)+
1
2
(x1+x2)+1=ln(2a)+
1
4a
+1.…(9分)
令g(a)=ln(2a)+
1
4a
+1,a∈(0,
1
8
],
则当a∈(0,
1
8
)时,g′(a)=
1
a
-
1
4a2
=
4a-1
4a2
<0,g(a)在(0,
1
8
)单调递减,
所以g(a)>g(
1
8
)=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.…(12分)
点评:本题考查实数取值范围的求法,考查不等式的证明,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的合理运用.
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