Question

15．在数列{a_n}中，a₁=4，a₂=10，若{log₃（a_n-1）}为等差数列，则T_n=$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 由{log₃（a_n-1）}为等差数列，得到数列{a_n-1}为等比数列，求出等比数列的通项公式后，进一步得到$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，然后利用等比数列的前n项和得答案．

解答 解：∵{log₃（a_n-1）}为等差数列，
∴2log₃（a_n-1）=log₃（a_n-1-1）+log₃（a_n+1-1）（n≥2），
即log₃（a_n-1）²=log₃（a_n-1-1）（a_n+1-1）（n≥2），
（a_n-1）²=（a_n-1-1）（a_n+1-1）（n≥2），
则数列{a_n-1}为等比数列．
首项为a₁-1=4-1=3，公比为$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}-1}$=3．
则a_n-1=3ⁿ．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n+1}+1-{3}^{n}-1}$=$\frac{1}{2•{3}^{n}}$．
则T_n=$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{2•{3}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．
故答案为：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

点评 本题考查了等差数列的性质和等比数列的定义和通项及前n项和公式，考查化简运算能力，是中档题．