题目内容

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，三角形ABC的面符号为S，求S的最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（2b-c，cosC）， $\text{[math]}$ =（a，cosA），且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴（2b-c）cosA-accosC=0，
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，故A= $\text{[math]}$ ；
（2）∵A= $\text{[math]}$ ，a=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc…8′
∴16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取等号），
∴S= $\text{[math]}$ bcsinA≤ $\text{[math]}$ ×16× $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
分析：（1）利用向量共线的坐标运算可求得（2b-c）cosA-accosC=0，再利用正弦定理可求得cosA= $\text{[math]}$ ，从而可求得角A的大小；
（2）依题意，利用余弦定理与基本不等式可求得bc≤16，由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积S的最大值．
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查余弦定理与基本不等式及三角形的面积公式，考查向量共线的坐标运算，属于中档题．