Question

3．已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，且双曲线与抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的准线交于A，B，S_△OAB=$\sqrt{3}$，则双曲线的实轴长2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得准线方程，利用三角形的面积，求得A，B坐标，结合离心率，即可求出2a．

解答 解：设A（x，y）．
依题意知抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的准线y=$\sqrt{3}$．S_△OAB=$\sqrt{3}$，$xy=\sqrt{3}$，解得x=1，A（1，$\sqrt{3}$）．
代入双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1得
$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}=1$，…①
双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，
可得：$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=\sqrt{2}$，…②，
解①②可得：a=$\sqrt{2}$．
2a=2$\sqrt{2}$．
双曲线的实轴长2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线以及双曲线的简单性质．解题的关键是通过三角形求出A、B的坐标，是解题的关键．