题目内容
如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设登陆点在D处，从A到C所用的时间为y（单位：h）．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠BAD=θ（rad），将y表示为θ的函数；②设BD=x（km），将y表示为x的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系，确定登陆点D的位置，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．
分析：（1）①用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
②设BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于x函数即可；
（2）选①，对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ=
时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．
选②对函数求导，研究出函数的单调性确定出当x=
时，用时最少，求出x=
时的函数值即可，
②设BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于x函数即可；
（2）选①，对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ=
| π |
| 6 |
选②对函数求导，研究出函数的单调性确定出当x=
50
| ||
| 3 |
50
| ||
| 3 |
解答：解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50tanθ，AD=
，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴y=
+
=
+2-tanθ=
(0≤θ≤α，其中tanα=2，α∈[0，
))…（4分）
②在Rt△ABD中，DC=100-x，AD=
，
∴y=
+
=
+2-
(0≤x≤100)．…．（8分）
注：定义域不写或写错扣（1分）
（2）①y′=
，…．（10分）
当0＜θ＜
时，y'＜0，∴函数y在(0，
)单调递减；
当
＜θ＜α，tanα=2，α∈[0，
)时，y'＞0，
∴函数y在（0，α）单调递增…．（12分）
∴当θ=
时，ymin=
=2+
…．（13分）
此时BD=50tan
=
．…．（14分）
答：当BD=
km时，从A到C所用时间最少为(2+
)h．…．（15分）
②y′=
-
=
．…．（10分）
当0＜x＜
时，y'＜0，∴函数y在(0，
)单调递减；
当
＜x＜100时，函数在(
，100)单调递增…．（12分）
∴当x=
时，ymin=2+
．…（14分）
答：当BD=
km时，从A到C所用时间最少为(2+
)h…．（15分）
| 50 |
| cosθ |
∴y=
| AD |
| 25 |
| DC |
| 50 |
| 2 |
| cosθ |
| 2+2cosθ-sinθ |
| cosθ |
| π |
| 2 |
②在Rt△ABD中，DC=100-x，AD=
| x2+502 |
∴y=
| AD |
| 25 |
| DC |
| 50 |
| 1 |
| 25 |
| x2+2500 |
| x |
| 50 |
注：定义域不写或写错扣（1分）
（2）①y′=
| 2sinθ-1 |
| cos2θ |
当0＜θ＜
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴函数y在（0，α）单调递增…．（12分）
∴当θ=
| π |
| 6 |
2+2cos
| ||||
cos
|
| 3． |
此时BD=50tan
| π |
| 6 |
50
| ||
| 3 |
答：当BD=
50
| ||
| 3 |
| 3 |
②y′=
| x | ||
25
|
| 1 |
| 50 |
2x-
| ||
50
|
当0＜x＜
| 50 | ||
|
| 50 | ||
|
当
| 50 | ||
|
| 50 | ||
|
∴当x=
50
| ||
| 3 |
| 3． |
答：当BD=
50
| ||
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型，本题在求最值时用到了导数研究单调性，用导数研究函数的单调性是一个非常方便的工具，遇到判断函数的单调性的问题时不妨优先考虑一下用导数．本题符号较多，运算较繁，极易出错，做题时要认真严谨．
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