Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=

1

2

Sn+a，又a₁=2，a₂=1．
（1）求a的值；
（2）求S_n；
（3）是否存在正整数m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m

成立？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得，a1+a2=

1

2

a1+a，即可解出a．
（2）由Sn+1=

1

2

Sn+2，变形为Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，利用等比数列的定义、通项公式即可得出．                  
（3）假设存在正整数m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m.

则2＜2ⁿ（4-m）＜6，由于m，n是正整数，可得2ⁿ（4-m）=4，解出即可．

解答：解：（1）由题意得，a1+a2=

1

2

a1+a，即2+1=

1

2

•2+a，∴a=2．                      
（2）∵Sn+1=

1

2

Sn+2，∴Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，
∴数列{S_n-4}是以S₁-4=-2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴Sn-4=-2(

1

2

)n-1，∴Sn=4-22-n．                  
（3）假设存在正整数m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m.

则2＜2ⁿ（4-m）＜6，
∵m，n是正整数，∴2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

∴

m=2 n=1

或

m=3 n=2

即存在正整数m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m

成立．

点评：熟练掌握等比数列的定义、通项公式、等价转化、整数的有关理论等是解题的关键．