Question

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意均满足，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x²，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log₂x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分） （4分）
（2）任取x，y∈R，则，，（6分）
所以，
当且仅当x=y时等号成立，则g（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函数f（x）=log₂x满足
得，即，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）
分析：（1）根据对任意均满足可得，化简可得结论；
（2）任取x，y∈R，然后计算的符号，从而判定是否满足定义；
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1，而函数f（x）=log₂x满足建立关系式可求出m+n的最大值．
点评：本题主要考查了抽象函数的性质，以及基本不等式研究函数的最值，属于中档题．