题目内容
如图，在△ABC中，B=90°，AC=| 15 |
| 2 |
| AD |
| DB |
| AE |
| EC |
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）．
分析：（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的
倍，故先求出AB的长即可；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．
| 1 |
| 3 |
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．
解答：解：（Ⅰ）在图1中，因
=
，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥DE．
在图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．
下求DB之长．在图1中，由
=
=2，得
=
=
又已知DE=3，从而BC=
DE=
．AB=
=
=6．因
=
，故DB=2．
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=
•
=
，
因此sinBCE=
=
．从而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DEsinDEF=DEsinBCE=3•
=
．
在Rt△AFD中，AD=4，tanAFD=
=
．
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
．
| AD |
| DB |
| AE |
| CE |
在图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．
下求DB之长．在图1中，由
| AD |
| CB |
| AE |
| BC |
| DE |
| BC |
| AD |
| AB |
| 2 |
| 3 |
又已知DE=3，从而BC=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| AC2-BC2 |
(
|
| DB |
| AB |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=
| 1 |
| 3 |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
因此sinBCE=
| DB |
| EC |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
在Rt△AFD中，AD=4，tanAFD=
| AD |
| DF |
| 5 |
| 3 |
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
| 5 |
| 3 |
点评：本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．
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A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在△ABC中，设
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