题目内容
已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求（1）直线AD与平面BCD所成角的大小；
（2）直线AD与直线BC所成角的大小；
（3）二面角A-BD-C的余弦值．
分析：（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，通过求
与平面BCD的夹角去求．
（2）通过
与
的夹角去求．
（3）求出平面CBD的一个法向量为
以及平面ABD的一个法向量为
，求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．
| AD |
（2）通过
| AD |
| BC |
（3）求出平面CBD的一个法向量为
| n1 |
| n2 |
解答：解：（1）设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：
O（0，0，0）D（
，0，0）B（0，
，0）C（0，
，0）A（0，0，
）
=（
，0，-
），显然
=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量
|cos＜
，
＞|=|
|=|-
|=
∴，直线AD与平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（2）
•
=（
，0，-
）•（0，1，0）=0
所以AD与BC所成角等于90°．
（3）设平面ABD的法向量为
=（x，y，1）则
（x，y，1）•
=（x，y，1）•(0，
， -
)=0
（x，y，1）•
=（x，y，1）•(
，0，-
)=0
解得 x=1，y=
，
则
=（1，
，1）
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A-BD-C大小为θ，则|cosθ|=
=
=
又二面角A-BD-C为钝二面角，因此，二面角的余弦为-
．
O（0，0，0）D（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| AD |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| n1 |
|cos＜
| AD |
| n1 |
-
| ||||
|
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴，直线AD与平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（2）
| AD |
| BC |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
所以AD与BC所成角等于90°．
（3）设平面ABD的法向量为
| n2 |
（x，y，1）•
| AB |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（x，y，1）•
| AD |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
解得 x=1，y=
| 3 |
则
| n2 |
| 3 |
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A-BD-C大小为θ，则|cosθ|=
| ||||
|
|
| 1 | ||
1×
|
| ||
| 5 |
又二面角A-BD-C为钝二面角，因此，二面角的余弦为-
| ||
| 5 |
点评：本题考查空间角的计算，二面角求解，考查转化的思想方法，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．
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，
，
，
．
，
表示
；
+
+
+L+
＜2．