题目内容

（1）判断函数f(x)=x2+
1
x
在（1，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若函数f(x)=x2+
a
x
在区间（1，+∞）上的单调递增，求实数a的取值范围．
分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．注意化简f（x2）-f（x1）是一定要化到最简．
（2）已知f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上的单调递增                            …（2分）
x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2…（3分）
则x2-x1＞0，x1+x2＞2，x1x2＞1，
1
x1x2
＜1∴
1
x1x2
-(x1+x2)＜0…（5分）
f(x1)-f(x2)=
x
2
1
+
1
x1
-(
x
2
2
+
1
x2
)
=(x1+x2)(x1-x2)+
x2-x1
x1x2

=(x2-x1)[
1
x1x2
-(x1+x2)]＜0…（7分）
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（1，+∞）上的单调递增   …（8分）
（2）f/(x)=2x-
a
x2
≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x3在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）
点评：本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．请解答以下问题
（1）判断函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否属于集合M？并说明理由；
（2）判断函数g（x）=-x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（3）若函数h(x)=
x-1
+t∈M，求实数t的取值范围．
对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+
4
x
，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=
x+2
+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体
①函数f（x）在其定义域上是单调函数．
②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[
a
2
，
b
2
]．
（1）判断函数f(x)=x+
2
x
(x＞0)是否属于M，说明理由．
（2）判断g（x）=-x3是否属于M，说明理由，若是，求出满足②的区间[a，b]．
设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判断函数F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论；
（3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论．

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