题目内容

直三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图如下图所示,D为AC的中点,则下列命题是假命题的是(   )

A.AB1∥平面BDC1

B.A1C⊥平面BDC1

C.直三棱柱的体积V=4

D.直三棱柱的外接球的表面积为4π

 

【答案】

D

【解析】

试题分析:由三视图可知,直三棱柱ABC-A1B1C1侧面B1C1CB为边长为2的正方形,底面ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,AB=BC=2,连B1C交BC1于O,连接OD,在△CAB1中,O,D分别是B1C,AC的中点,∴OD∥AB1,而AB1⊄平面BDC1,OD⊂平面BDC1,∴AB1∥平面BDC1A对;直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴AA1⊥BD,∵AB=BC=2,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1C①,又A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥平面B1C1CB,∴A1B1⊥B1C,在正方形B1C1CB中,BC1⊥B1C,∵B1C,A1B1⊂平面A1B1C,B1C∩A1B1⊂=B1,∴B1C⊥平面A1B1C,∴B1C⊥A1C②,由①②,又BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BDC1,∴A1C⊥平面BDC1 ,B对;,C对;直三棱柱的外接球的半径为所在正方体的体对角线的一半,即,故直三棱柱的外接球的表面积为,D错.故选D.

考点:1.三视图;2.直线与平面平行的判定;3.直线与平面垂直的判定

 

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