Question

已知函数f（x）=ln（x²-2x-a）的定义域为A，函数g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

的值域为B，若A∩B≠∅，则实数a的取值集合为

{a|a＜8}

．

Answer 1

分析：先利用判别式法求出函数g（x）的值域B，根据A∩B≠∅，则x²-2x-a＞0在区间[2，4]上有解即a＜x²-2x在[2，4]上存在实数解，最后根据存在性问题进行求解即可．

解答：解：令g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

=y则（3-y）x²+2x+3-y=0
当y=3时，x=0成立，
当y≠3时，△=4-4（3-y）²≥0，解得2≤y≤4且y≠3
综上可知函数g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

的值域B=[2，4]
x²-2x-a＞0的解集为函数f（x）=ln（x²-2x-a）的定义域
∵A∩B≠∅，
∴x²-2x-a＞0在区间[2，4]上有解即a＜x²-2x在[2，4]上存在实数解
即a＜（x²-2x）_max=8
∴实数a的取值集合为{a|a＜8}
故答案为：{a|a＜8}

点评：本题主要考查了利用判别式法求函数的值域，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了等价转化的思想，属于中档题．