Question

已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+

3

=

3

tanB•tanC，则△ABC的面积为（　　）

• A、

  3

  4

• B、3

  3

• C、

  3 3

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：由条件可得tan（B+C）=

tanB+ tanC

1-tanBtanC

=-

3

，可得 B+C=

2π

3

，A=

π

3

．由余弦定理求得b值，即得c值，代入面积公式进行运算．

解答：解：由题意可得 tanB+tanC=

3

（-1+tanB•tanC），∴tan（B+C）=

tanB+ tanC

1-tanBtanC

=-

3

，
∴B+C=

2π

3

，∴A=

π

3

．
由余弦定理可得 16=b²+（5-b）²-2b（5-b）cos

π

3

，∴b=

5+ 13

2

，c=

5- 13

2

，
或 b=

5- 13

2

，c=

5+ 13

2

．
则△ABC的面积为

1

2

bcsinA=

1

2

×

5+ 13

2

×

5- 13

2

×

3

2

=

3 3

4

，故答案为

3 3

4

．

点评：本题考查两角和的正切公式，余弦定理，已知三角函数的值求角的大小，求出角A的大小是解题的关键．