Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(

3

2

-x)=f(x)，f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n为{a_n}的前n项和）．则f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A、-3
• B、-2
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：先由函数f（x）是奇函数和f(

3

2

-x)=f(x)，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63计算即可．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3

2

-x)=f(x)，
∴f(

3

2

-x)=-f(-x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选C

点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．