Question

【题目】已知函数f（x）＝alnx1，g（x）＝x33tx+1（t＞0）．

（1）当a时，求f（x）在区间[，e]上的最值；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若g（x）≤xex﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最小值，最大值为 （2）见解析 （3）（0，]

【解析】

（1）当a时，求出，解不等式，进而求出函数的单调区间，求出函数极值，即可得出结论；

（2）根据（或）能否恒成立对分类讨论，若恒成立，得到单调区间，若不恒成立，求出，即可求出单调区间；

（3）将所求的不等式分离参数，得到m-1≤（ex﹣x2对x∈[0，+∞）恒成立，且m的最大值为1，即恒成立，构造函数，求出最小值，即可求解.

（1）当a时，f（x）lnx1，

∴f′（x），（x＞0），

当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

故当x＝1时，f（x）取得最小值f（1），

∵f（e），f（），

∴f（e）＞f（），

故函数的最大值为f（e），

（2）∵f′（x），

①当a+1≥0即a≥﹣1时，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

②当a+1＜0即a＜﹣1时，x，f′（x）＞0，

x，f′（x）＜0成立，

故f（x）在（0，）上单调递增，

故f（x）在（，+∞）上单调递减.

综上：当a≥﹣1时，的递增区间是

当a＜﹣1时，f（x）单调递增区间是（0，），

单调递减区间是（，+∞）.

（3）∵g（x）≤xex﹣m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为1，

∴x33tx+1≤xex﹣m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立，

∴m-1≤xex﹣x33tx＝（ex﹣x2

对任意x∈[0，+∞）恒成立，且m的最大值为1，

令g（x）＝ex﹣x2，，

令，∴，

当x∈（0，ln2）时，h′（x）＝ex﹣2＜0，h（x）单调递减，

当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＝ex﹣2＞0，h（x）单调递增，

，故，

故g（x）单调递增，g（x）≥g（0）＝1﹣3t≥0，∴0＜t

即t的取值范围（0，]．