题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=C，2b=
a．
（1）求cosA的值；
（2）cos(2A+
)的值．
（3）若已知向量
=（
cos
，cos
），
=（sin
，cos
）．若
•
=
，求sin（
-x）的值．
| 3 |
（1）求cosA的值；
（2）cos(2A+
| π |
| 4 |
（3）若已知向量
| m |
| 3 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| n |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| m |
| n |
2+
| ||
| 4 |
| 7π |
| 6 |
分析：（1）直接利用已知条件以及余弦定理，求cosA的值；
（2）利用（1）的结果，求出sinA，通过二倍角公式求出cos2A，sin2A，利用两角和的余弦函数直接求解cos(2A+
)的值．
（3）通过向量
=（
cos
，cos
），
=（sin
，cos
）．利用
•
=
，求出
+
的正弦函数值，利用诱导公式以及二倍角的余弦函数直接求解sin（
-x）的值．
（2）利用（1）的结果，求出sinA，通过二倍角公式求出cos2A，sin2A，利用两角和的余弦函数直接求解cos(2A+
| π |
| 4 |
（3）通过向量
| m |
| 3 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| n |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| m |
| n |
2+
| ||
| 4 |
| x |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
解答：解：（1）由B=C，2b=
a可得c=b=
a，
所以cosA=
=
=
．
（2）因为cosA=
，a∈（0，π），所以sinA=
=
，
cos2A=2cos2A-1=-
，故sin2A=2sinAcosA=
，
∴cos(2A+
)=cos2Acos
-sin2Asin
=-
×
-
×
=-
，
（3）向量
=（
cos
，cos
），
=（sin
，cos
）．
•
=
，（
cos
，cos
）•（sin
，cos
）=
．
可得sin（
+
）=
，
sin（
-x）=-cos2（
+
）=2sin2（
+
）-1=
．
| 3 |
| ||
| 2 |
所以cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| ||||||||
2×
|
| 1 |
| 3 |
（2）因为cosA=
| 1 |
| 3 |
| 1-cos2A |
2
| ||
| 3 |
cos2A=2cos2A-1=-
| 7 |
| 9 |
4
| ||
| 9 |
∴cos(2A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7 |
| 9 |
| ||
| 2 |
4
| ||
| 9 |
| ||
| 2 |
8+7
| ||
| 18 |
（3）向量
| m |
| 3 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| n |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| m |
| n |
2+
| ||
| 4 |
| 3 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
2+
| ||
| 4 |
可得sin（
| x |
| 2 |
| π |
| 6 |
| ||
| 4 |
sin（
| 7π |
| 6 |
| x |
| 2 |
| π |
| 6 |
| x |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，考查计算能力与转化思想的应用．
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