Question

4．已知函数f（x）=log₂（$\frac{x+b}{x-b}$），（b≠0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）解关于x的不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；
（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，
（3）若f（x）≥1，则$\frac{x+b}{x-b}$≥2，对b值分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．

解答 解：（1）当b＜0时，由$\frac{x+b}{x-b}$＞0得：x∈（-∞，b）∪（-b，+∞），故此时函数的定义域为：（-∞，b）∪（-b，+∞），
当b＞0时，由$\frac{x+b}{x-b}$＞0得：x∈（-∞，-b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（-∞，-b）∪（b，+∞），
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，
又由f（-x）=log₂（$\frac{-x+b}{-x-b}$）=log₂（$\frac{x-b}{x+b}$）=-log₂（$\frac{x+b}{x-b}$）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，
（3）若f（x）≥1，则$\frac{x+b}{x-b}$≥2，
即$\frac{-x+3b}{x-b}$≥0，
当b＜0时，不等式的解集为[3b，b），
当b＞0时，不等式的解集为（b，3b]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．