Question

10．函数$sinhx=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$称为“双曲正弦函数”，类似地，函数$coshx=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是②．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数的定义判断双曲正弦函数的奇偶性；
（Ⅱ）对选项分别进行判断，即可得出结论；
（Ⅲ）（Ⅲ）y=tanhx=$\frac{sinhx}{coshx}$，e^2x=$\frac{1+tanhx}{1-tanhx}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（-hx）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-sinhx，
∴双曲正弦函数是奇函数；
（Ⅱ）①sinh²x+cosh²x=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$≠1，不正确；
②sinh2x═$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=2sinhx•coshy，正确；
③cosh²x-sinh²x=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$-$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$≠cosh2x，不正确．
（Ⅲ）y=tanhx=$\frac{sinhx}{coshx}$，∴e^2x=$\frac{1+tanhx}{1-tanhx}$
tanh2x=$\frac{sinh2x}{cosh2x}$=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}$=-$\frac{2tanhx}{1+tan{h}^{2}x}$．
故答案为：②．

点评 本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．