题目内容

以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设为两个定点,为非零常数,,则动点的轨迹为双曲线;②过定圆上一定点作圆的动点弦为坐标原点,若则动点的轨迹为圆;③设的一内角,且,则表示焦点在轴上的双曲线;④已知两定点和一动点,若,则点的轨迹关于原点对称.
其中真命题的序号为               (写出所有真命题的序号).

②④

解析试题分析:对于①,由双曲线的定义可知,动点的轨迹为双曲线的一支,所以①不正确;对于②,由,可知点为弦的中点,连结,则有,而均为定点,所以点的轨迹是以为直径的圆,所以②正确;对于③,由两边平方可得,所以,因为的一个内角,可判断为钝角,所以,联立,从而方程,表示焦点在轴上的椭圆,所以③错误;对于④,设动点,则由可得,将代入等式左边可得,所以动点的轨迹关于原点对称,即④正确;综上可知,真命题的序号是②④.
考点:1.双曲线的定义;2.动点的轨迹问题;3.双曲线的离心率.

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