题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,焦距为2,且经过点
,斜率为
的直线
经过点
,与椭圆
交于
,
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在轴上是否存在点
,使得以
,
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;实数
的取值范围是
【解析】
(1)根据椭圆定义计算,再根据
,
,
的关系计算
即可得出椭圆方程;(2)设直线
方程为
,与椭圆方程联立方程组,求出
的范围,根据根与系数的关系求出
的中点坐标,求出
的中垂线与
轴的交点横,得出
关于
的函数,利用基本不等式得出
的范围.
(1)由题意可知,
,
.
又,
,
,
椭圆
的方程为:
.
(2)若存在点,使得以
,
为邻边的平行四边形是菱形,
则为线段
的中垂线与
轴的交点.
设直线的方程为:
,
,
,
,
,
联立方程组,消元得:
,
△,又
,故
.
由根与系数的关系可得,设
的中点为
,
,
则,
,
线段
的中垂线方程为:
,
令可得
,即
.
,故
,当且仅当
即
时取等号,
,且
.
的取值范围是
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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