Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）半径r==2，故圆O的方程为 x²+y²=4．
（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，
故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数2，
设MN的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
由弦长公式可得，
圆心O到直线MN的距离等于=1．
由点到直线的距离公式可得 1=，b=±，
故MN的方程为2x﹣y±=0．
（3）圆O与x轴相交于A（﹣2，0）、B（2，0）两点，
圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA||PB|=|PO|²=4．
由于∠APB的取值范围是[0，π]，
∴﹣|PA||PB|≤≤|PA||PB|，﹣4≤≤4，
即的取值范围[﹣4，4]．