Question

已知函数f（x）=log_a

x-2

x+2

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；  
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

（1）∵

x-2

x+2

＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga

-x-2

-x+2

=loga

x+2

x-2

=-loga

x-2

x+2

=-f（x）．
及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称．
∴函数f（x）是奇函数．
（3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，log_am及loga

m-2

m+2

由意义，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=

x-2

x+2

，则t=1-

4

x+2

在区间[m，n]（m＞2）上单调递增，
∴函数f（x）=loga

x-2

x+2

在区间[m，n]上单调递减．
∴

f(m)=loga m-2 m+2 =1+logam f(n)=loga n-2 n+2 =1+logan

，
∴m，n是方程loga

x-2

x+2

=1+logax的两个大于2的根．方程可化为

x-2

x+2

=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述问题?关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
则有

△=(2a-1)2-8a＞0 g(2)=8a＞0 - 2a-1 2a ＞2

，解得

a＞ 3+2 2 2 或a＜ 3-2 2 2 a＞0 0＜a＜ 1 6

．

解得0＜a＜

3-2 2

2

．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜

3-2 2

2

．
故存在这样的实数a，且a的取值范围为(0，

3-2 2

2

)．