Question

19．已知点P是圆F₁：（x+1）²+y²=16上任意一点（F₁是圆心），点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l经过F₂，与抛物线y²=4x交于A₁，A₂两点，与C交于B₁，B₂两点．当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|．

Answer 1

分析 （I）先确定F₁、F₂的坐标，再根据线段PF₂的中垂线与与PF₁、PF₂交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，B1（1，$\frac{3}{2}$），B2（1，-$\frac{3}{2}$），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A₁A₂|．

解答 解：（I）由题意得，F₁（-1，0），F₂（1，0），圆F₁的半径为4，且|MF₂|=|MP|，
从而|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=|PF₁|=4＞|F₁F₂|，…（2分）
∴点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，…（4分）
其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，
则短半轴b=$\sqrt{3}$，
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$     …（5分）
（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），
此时$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}≠0$，所以以B₁B₂为直径的圆不经过F₁．不满足条件．…（6分）
当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），则：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
因为以B₁B₂为直径的圆经过F₁，所以$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}=0$，又F₁（-1，0）
所以（-1-x₁）（-1-x₂）+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0
所以解得k²=$\frac{9}{7}$，…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，
设A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），则：x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1
所以|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{64}{9}$．…（12分）

点评 求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在，本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了转化思想，属于中档题．