题目内容
如图,P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.
(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC;
(2)求S△A′B′C′∶S△ABC.
(1)证明:连结PA′、PC′并延长,分别交BC、AB于M、N,
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,
∴M、N分别是BC、AB的中点.连结MN,
由
,∴A′C′∥MN,MN?平面ABC.∴A′C′∥平面ABC.
同理,A′B′∥平面ABC.而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线,
∴平面A′B′C′∥平面ABC.
(2)解析:由(1)可知A′C′∥MN,A′C′∶MN=
,∴A′C′=
MN=
×
AC=
AC.
同理,A′B′=
AB,B′C′=
BC.
∴
.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.
小结:相似图形中,面积之比等于相似比的平方在立体几何中仍然适用,只需将其相似比求出便可.
练习册系列答案
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请考生在第（1），（2），（3）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．