题目内容

如图,P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC;

(2)求S△A′B′C′∶S△ABC.

(1)证明:连结PA′、PC′并延长,分别交BC、AB于M、N,

∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,

∴M、N分别是BC、AB的中点.连结MN,

,∴A′C′∥MN,MN?平面ABC.∴A′C′∥平面ABC.

同理,A′B′∥平面ABC.而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线,

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)解析:由(1)可知A′C′∥MN,A′C′∶MN=,∴A′C′=MN=×AC=AC.

同理,A′B′=AB,B′C′=BC.

.

∴△A′B′C′∽△ABC.

∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.

小结:相似图形中,面积之比等于相似比的平方在立体几何中仍然适用,只需将其相似比求出便可.

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