题目内容
已知a＜0，函数f(x)=asin(2x+
)+b，当x∈R时，f（x）∈[1，3]．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
| π | 6 |
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
分析：（1）根据三角函数的图象也性质，结合a＜0建立关于a、b的方程组，解之即得实数a，b的值；
（2）由（1）得函数表达式为f(x)=-sin(2x+
)+2．得函数y=sin(2x+
)的增区间就是函数f（x）的减区间，函数y=sin(2x+
)的减区间就是函数f（x）的增区间，由正弦函数单调性建立不等式，解之即得f（x）的单调区间．
（2）由（1）得函数表达式为f(x)=-sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：∵x∈R，∴sin(2x+
)∈[-1，1]．
∵a＜0，∴asin(2x+
)∈[a，-a]，
因此，可得asin(2x+
)+b∈[b+a，b-a]．
又∵1≤f（x）≤3，
∴
，解得：a=-1，b=2．…（3分）
（2）由（1）知a=-1，b=2，得f(x)=-sin(2x+
)+2，
令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，得-
+kπ≤x≤
+kπ，（k∈Z）
∴函数y=sin(2x+
)的增区间为[-
+kπ，
+kπ]，
得函数f(x)=-sin(2x+
)+2的减区间为[-
+kπ，
+kπ]．（k∈Z）
令
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，得
+kπ≤x≤
+kπ，（k∈Z）
∴函数y=sin(2x+
)的增区间为[
+kπ，
+kπ]，
得函数f(x)=-sin(2x+
)+2的增区间为[
+kπ，
+kπ]，（k∈Z）
综上所述，得f（x）的单调增区间是[
+kπ，
+kπ]，单调减区间是[-
+kπ，
+kπ]．（k∈Z）
| π |
| 6 |
∵a＜0，∴asin(2x+
| π |
| 6 |
因此，可得asin(2x+
| π |
| 6 |
又∵1≤f（x）≤3，
∴
|
（2）由（1）知a=-1，b=2，得f(x)=-sin(2x+
| π |
| 6 |
令-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数y=sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
得函数f(x)=-sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
令
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| 2 |
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| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数y=sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
得函数f(x)=-sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
综上所述，得f（x）的单调增区间是[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的最大、最小值，求参数a、b的值，着重考查了正弦函数的单调性和由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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