题目内容

如图,已知抛物线和⊙,过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点到抛物线准线的距离为

(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直轴时,求直线的斜率;
(3)若直线轴上的截距为,求的最小值.

(1);(2);(3).

解析试题分析:本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,据点到准线的距离为,直接列式求得,得到抛物线的标准方程;第二问,据条件的角平分线为,即轴,得,而关于对称,所以,利用两点斜率公式代入得,所以求得;第三问,先求直线的方程,再求的方程,令,可得到,利用函数的单调性求函数的最值.
试题解析:(1)∵点到抛物线准线的距离为
,即抛物线的方程为
(2)法一:∵当的角平分线垂直轴时,点,∴

,  ∴
.   
法二:∵当的角平分线垂直轴时,点,∴,可得,∴直线的方程为
联立方程组,得
  ∴
同理可得,∴
(3)法一:设,∵,∴
可得,直线的方程为
同理,直线的方程为


∴直线的方程为
,可得
关于的函数在单调递增,  ∴
法二:设点
为圆心,为半径的圆方程为

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